2.
-2021
..
-I
: :100
: - ,
-
1. (1)
(ii) :
(iii) p2 + q2 = 20 2p + q = 8 p
q
2. (i) 3 24 6
(ii) 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 1/512
(iii) n
-
3. (i) y = 5x - 7 2y = 10x + 5
(ii) (1, 3, 5) '
9
2.
(ii) :
/
1
100
2
50
3
0
4. (i) -
(ii) , ,
(iii) 70 , 30 20
-
5. (1) -
(ii)
6. (i)
(ii) x = 2
-
7. (i) (7x - 8)4 (5x - 1)3
(ii) wrtx
2.
(iii) wr.tx
8. (i) p = 50 - 3q ' p = 5
(ii) = p = 50 - 3x p = 5
(iii) C = 60 - 12q + 2q2 ' AC, MC AC = (MC -
AC)
-2021
..
-I
: :100
: - ,
-
1. (1)
(ii) :
(iii) p2 + q2 = 20 2p + q = 8 p
q
: ...
, - , -
, ,
2.
"," , "
!"
, , , " -
, - "
, - --
- ,
(i) :
:
1:
:
,
:
• = 1/x
• = 1/y
2.
• = 1/
:
• A + B = 9 … (i)
• A + C = 11 … (ii)
• C + A = 10 … (iii)
2:
(ii) – (iii):
! - (ii) (iii) A + C , - :
11 10
:
:
! (2) (3) ,
?
:
:
• = 1/x
• = 1/y
• = 1/
:
• + = 9 → (1)
• + = 11 → (2)
• + = 10 → (3)
2.
', (2) (3) :
• + = 11
• + = 10
,
, :
:
• + = 9 (1)
• + = 11 (2)
(2) – (1) :
(A + C) – (A + B) = 11 – 9C – B = 2 = –2
(1) :
+ = 9 + ()–2) = 9A + C = 11 (2) , !
:
A = 4 ( ), C = 7 (A + C = 11 ), B = C – 2 = 5
:
A = 1/x = 4 → x = 1/4B = 1/y = 5 → y = 1/5C = 1/z = 7 → z = 1/7
:
• xy / (x + y) = (1/4 * 1/5) / (1/4 + 1/5) = (1/20) / (9/20) = 1/9
• xz / (x + z) = (1/4 * 1/7) / (1/4 + 1/7) = (1/28) / (11/28) = 1/11
• zx / (z + x) = (1/7 * 1/4) / (1/7 + 1/4) = (1/28) / (11/28) = 1/11
!
,
2
,
(ii) :
2.
1: √x = a
:
a :
2:
:
√x = 4x = 16
√x = 2x = 4
: x = 4 x = 16
(iii) :
:
(p) (q)
1: (2) :
2p+q=8=8-2p(3)2p
(1) :
2.
p2+(8−2p)2=20p2 + (8 - 2p)2 = 20p2+(8−2p)2=20
(8 – 2p)² :
2:
:
:
q :
1. p = 4.4:
q = 8 – 2(4.4) = 8 – 8.8 = –0.8(
, '
)
2. p = 2:
q = 8 – 2(2) = 8 – 4 = 4
:
• (p) = 2
• (q) = 4
- :
, p , ' q
:
2.
,
;
,
, - ,
, p = 2 q = 4 ' ,
" ,"
:
:
,
, ,
, , -
, ,
-
2. (i) 3 24 6
(ii) 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 1/512
(iii) n
: ...
, ,
, ,
2.
"
," , "
!"
,
-
- ,
1: 3 24 6
:
• (a) = 3
• = 24
• 6 , , 3 24
(AP)
, :
3 (), 6 , 24 () AP 8
?
AP , (d) AP
:
a, a + d, a + 2d, a + 3d, ..., a + (n - 1)d
:
• , a = 3
• , n = 8
• (8 ) = 24
AP :
:
2.
6 :
• : a+d=3+3=6
• : 3+23=9
• : 3+33=12
• 5 : 3+43=15
• : 3+53=18
• 7 : 3+63=21
, :
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24
1 !
2:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1/512
(GP) ,
:
• (a) = 1
• (r) = 1/2
• 1/512 , ?
GP , n :
2.
:
:
512 2 :
,
,
n−1=9n=10
, 1/512 GP 10
2 !
3: n
:
, :
• , a=1a = 1a=1
2.
• , r=
GP nnn :
, nnn :
n :
• n = 1 :
S1=2(1−1/2)=2(1/2)=1
• n = 2 :
S2=2(1−1/4)=2(3/4)=1.5
• n = 3 :
S3=2(1−1/8)=2(7/8)=1.75
!
...
, "
," , " , !"
, —
,
:
2.
1. 3 24 :
6, 9, 12, 15, 18, 21
2. GP 1/512 :
10
-
3. (i) y = 5x - 7 2y = 10x + 5
(ii) (1, 3, 5) '
9
(ii) :
/
1
100
2
50
3
0
:
:
,
'
,
,
, -- '
(i): y = 5x - 7 2y = 10x + 5
:
" ,
,
- "
:
1:
2.
:
y=5x−7y = 5x - 7y=5x−7
- :
y=mx+c
, m=5m = 5m=5
2:
:
2y=10x+5
, -
1: 2 :
y=5x+52
, ' y=mx+c , (m) 5
:
(5) - (−7 2.5),
, " ' - -
'
!"
(ii): (1, 3, 5)
, 9
, , :
"
3D ?"
!
:
• (1, 3, 5)
• ' 9 ,
a+b+c=9
2.
( )
:
:
• a x- ,
• b, y- ,
• c z-
:
• (1, 3, 5)
• a+b+c=9
--
(1, 3, 5) :
, :
: '
a=3a = 3a=3
, 2 :
1 :
2.
3 :
b(6−b) :
:
a=3a = 3a=3
🛠 : a=6a = 6a=6
, 2 :
1 :
6 :
b(3−b) :
2.
:
,
, ,
:
a b c 9−a−b9 - a - b9−a−b
: :
:
(1, 3, 5)
,
(iii): ( )
, - '
(/)
()
1
100
2
50
3
0
,
, -
2.
1: :
=+
:
•
•
• m
• c, y-
2:
:
• (1,100)(1, 100)(1,100)
• (2,50)(2, 50)(2,50)
:
- :
:
:
, !
2.
1. :
y=5x−7y = 5x - 7y=5x−7 2y=10x+52y = 10x + 52y=10x+5
= 5
2. 3D 9 : :
, a=3,b=2,c=4a = 3,b = 2,c = 4a=3,b=2,c=4, :
3. :
, ,
; ,
, , —
,
4. (i) -
(ii) , ,
(iii) 70 , 30 20
:
,
,
,
2.
, ,
,
, -
!
, - ,
, , , ,
-
? !
(i) ?
?
{ }
:
,
:
• :
= {, , , , }
• :
= {1, 2, 3, 4, 5}
•
: C = {, , , , , , }
() ,
:
1. ( ):
,
Φ { }
:
1 → Φ
2.
2. :
,
:
3 → {2}
3. :
: → { , , ..., }
4. :
/
:
→ {1, 2, 3, 4, ...}
5. :
,
: A = {1, 2, 3}, B = {3, 2, 1} =
6. :
,
:
= {, , }, = {1, 2, 3} ≈
7. :
A B , A B : A
:
A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}
8. :
2.
A, B - AB, A ≠ B. : A
9. :
U
:
U = ≤ 10, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
10. :
A = {1, 2}, P(A) = {Φ, {1},
{2}, {1, 2}}
(ii) '
,
:
1. (A)
,
:
A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}A = {1, 2, 3, 4, 5}
2. (A ∩ B)
:
A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}A ∩ B = {2, 3}
3. (A - B)
A B
: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}A – B = {1}
2.
4. (A Δ B)
A B ,
: A Δ B = (A –
B)(–)
:
A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}A Δ B = {1, 2, 4, 5}
:
, ( ) ( )
:
• = { , , }
• = {, , }
:
• ()) = = { , ,
, , }
• (A ∩ B) = = {}
• A – B = = { , }
• B – A = = {, }
• A Δ B = ,
= { , , , }
? ,
(iii)
, --
:
70 :
• 30
2.
• 20
:
1.
2.
1:
:
• M =
• S =
• n(M) = = 30
• n(M – S) =
= 20
• = 70
2:
:
n(M – S) = 20 (n(M)) = 30
:
n(M ∩ S) = n(M) – n(M – S)= 30 – 20 = 10
, 10
3:
:
n(S – M) =
' ,
:
• = 70
• n(M)) =
,
n(M)) = () + ()–n(M)∩)
2.
n(S) :
n(S) = x
:
n(M)) = 70 = 30 + x–10 => 70 = 20 + x => x = 50
, = 50
: = n(S – M) = n(S) – n(M ∩ S)= 50 – 10 = 40
:
1. = 10
2. = 40
, - ! ,
:
• ?
• ?
•
'
•
...
!
, ,
-
,
- ,
!
-
5. (1) -
(ii)
2.
:
:
, ,
,
: " ,
" , —5,
13 6 15 ,
, ",
!"
-
, ,
(i):
1. ?
:
, , "
,
,
"
:
A B A x
, B f(x)
:
f:A→B
:
• A ( )
• B ( )
• f(x) x
2.
:
:
f(x)=2x+3f
x = 1 , :
f(1)=2(1)+3=5
x = 2, :
f(2)=2(2)+3=7f
2.
1. : (x-)
2. -:
(
)
3. :
3.
:
•
A1 ()
• ()
•
4. - ( )
,
(i) -- ()
:
2.
f(x)=x+5f
x ,
(ii) ()
-
:
f(x)=x
(codomain = )
(iii) -- ' ( )
--
:
f(x)=x
—
(iv)
:
x f(x)=7
x , 7
(v)
f(x)=x
!
(vi)
:
f(x)=4x2+3x+7
2.
(vii)
:
P(x) Q(x) Q(x) ≠ 0
:
(viii)
• : f(−x)=f(x)
:f(x)=x2
• : f(−x)=−f(x)
:f(x)=x3
(ix)
x - -
:
(x)
(xi)
f(x)=
-
2.
(xii)
(ii):
-- :
, :
" x , 1 ?"
:
x = 1 :
- !
1:
:
2.
:
:
:
:
0/0 , ' :
•
•
• x
:
,
:
• : =
•
—
•
,
2.
, , " "
,
:
" ,
, "
- ,
6. (i)
(ii) x = 2
:
' ,
,
-
,
() , () ,
,
'
!
(i):
, - ""
?
"
" "
"
:
• —
•
-
• -
2.
,
' '
:
, ?
'
:
• '
,
•
,
• '
'
:
• ,
• , ,
,
, ' ' ,
, ,
2.
, ( )
,
,
()
( ):
1. ():
2. : '
3. : ( )
:
• ( ≠ 0)
:
(ii):
x=2x = 2x=2
1:
2.
:
:
, x=1 x=−1 x ,
(
)
, x=2 '
2: x=2 '
- :
1: f(2) ?
, f(2)
2.
:
,
- :
:
1.
-
2.
, ,
,
3.
x=2x = 2x=2 '
4.
,
- ( )
,
,
',
', ,
-
' ,
, '
2.
:
, , ,
, ,
, :
•
•
-
7. (i) (7x - 8)4 (5x - 1)3
(ii) wrtx
(iii) wr.tx
: ,
, ",
?
!"
, " , !
-
,
!"
— , x
7 (i): (7x - 8)⁴(5x - 1)³ wrt x
1:
:
y=(7x−8)4(5x−1)3
,
:
2.
:
• u=(7x−8)4
• v=(5x−1)3
2:
u = (7x - 8)4
:
v = (5x - 1)3
3:
,
:
2.
,
, " -
!"
1:
— :
:
• u=x+2
• v=3+
2:
:
:
3:
:
:
2.
, ,
! —
:
1:
:
,
• a=5a
2: f(x)
:
ex2 :
:
2.
3:
:
:
...
,
" -
-
, , , -
"
8. (i) p = 50 - 3q ' p = 5
(ii) = p = 50 - 3x p = 5
(iii) C = 60 - 12q + 2q2 ' AC, MC AC = (MC -
AC)
: -:
,
,
, ,
, ,
2.
,
,
,
: , ,
-
(i): p = 5 p = 50 3q
:
",
- ,
?"
:
p=50−3qp = 50 - 3qp=50−3q
, p q ,
:
(Ep) :
-- :
p :
2:
:
2.
:
p=5 ' :
' - '
(ii): = AR / (AR MR)
, ", ,
, "
:
:
1:
• AR ( ) = (p)
• TR ( ) = p × q
2.
(iii): , AC, MC AC =
(1/q)(MC AC)
, ", ,
"
C=60−12q+2q2
:
2.
1. AC ( ) = C/q
2. MC ( ) = dC/dq
3. :
1: (AC)
2: (MC)
3: :
AC q :
RHS :
:
2.
• = -12 + 4
:
:
:
:
:
!
, " ! :
•
• ,
• AR, MR,
•
2.
•
!”
, ",
-
"
:
,
,
-
, :
•
• AR, MR,
•
, —
,
"
, "
